Садовничий Ю. Параллельные прямые высекают на пересекающих их прямых пропорциональные отрезки рис. Определение 1. Два треугольника рис. Теорема 2 первый признак подобия. Если угол первого треугольника равен углу второго треугольника, а прилежащие к этим углам стороны треугольников пропорциональны, то такие треугольники подобны см. Теорема 3 второй признак подобия. Если два угла одного треугольника равны соответственно двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны рис. Теорема 4 теорема Менелая. Если некоторая прямая пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках X и Y соответственно, а продолжение стороны AC  в точке Z рис. Теорема 5. Пусть в остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1 рис. Тогда треугольники A1. Через середину M стороны BC параллелограмма ABCD, площадь которого. В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD,. На Стороне Cd Параллелограмма Abcd Отмечена Точка M' title='На Стороне Cd Параллелограмма Abcd Отмечена Точка M' />BC1 и ABC подобны, причем коэффициент подобия равен cos . Если стороны AC и DF треугольников ABC и DEF лежат на одной прямой или на параллельных прямых рис. Лемма 2. Если два треугольника имеют общую сторону AC рис. Лемма 3. Если треугольники ABC и AB1. C1 имеют общий угол A, то. Лемма 4. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Доказательства некоторых теорем. Точка K лежит на стороне CD параллелограмма ABCD. Прямая BK пересекает диагональ AC в точке M, а продолжение стороны AD в. На стороне CD параллелограмма ABCD взята произвольная точка Е. Зная, что S. Подготовка к ГИА ОГЭ 2016 по математике. Модуль Геометрия. На стороне CD параллелограмма ABCD. Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка N середина стороны CD. Докажите, что AN биссектриса угла BAD. Доказательство теоремы 4. Проведем через точку C прямую, параллельную прямой AB, до пересечения с прямой XZ в точке K рис. Надо доказать, что. Рассмотрим две пары подобных треугольников Перемножив почленно эти равенства, получим что и требовалось доказать. Доказательство теоремы 5. Докажем подобие треугольников A1. BC1 и ABC при помощи первого признака подобия. Так как эти два треугольника имеют общий угол B, достаточно доказать, что. На Стороне Cd Параллелограмма Abcd Отмечена ТочкаНа Стороне Cd Параллелограмма Abcd Отмечена Точка E Прямые AeНо это следует из того, что из прямоугольного треугольника ABA1, а из прямоугольного треугольника CBC1. Попутно доказана и вторая часть теоремы. Дана трапеция ABCD, причем известно, что BC a и AD b. Параллельно ее основаниям BC и AD проведена прямая, пересекающая сторону AB в точке P, диагональ AC в точке L, диагональ BD в точке R и сторону CD в точке Q рис. Известно, что PL LR. Найти PQ. Решение. Докажем сначала, что PL RQ. Рассмотрим две пары подобных треугольников Согласно теореме Фалеса имеем Обозначим теперь PL LR RQ x и рассмотрим снова две пары подобных треугольников Имеем далее Значит, Ответ Задача 2. В треугольнике ABC угол A равен 4. Из середины N стороны BC опущен перпендикуляр NM на сторону AC рис. Площади треугольников NMC и ABC относятся соответственно как 1 8. Найти углы треугольника ABC. Решение. Пусть BH  высота, опущенная из вершины B на сторону AC. Так как NM  средняя линия треугольника BHC, то S. Но, согласно условию задачи, S. Значит, AH HC,откуда. Дан треугольник ABC, в котором угол B равен 3. Биссектриса угла B пересекает сторону AC в точке D рис. Определить площадь треугольника ABD. Решение. Применим к треугольнику ABC теорему о биссектрисе внутреннего угла Значит, Ответ. Статья опубликована при поддержке компании. Оптово розничный склад свадебных и ритуальных товаров, искусственных цветов в Краснодаре. Свадебные аксессуары свечи, плакаты, бокалы, ленты, приглашения и многое другое. Ритуальные товары ткани, одежда, фурнитура. Презентация На Тему Резервное Копирование Данных. Узнать подробнее о компании, посмотреть каталог товаров, цены и контакты Вы сможете на сайте, который располагается по адресу flowersworld. Задача 4. Через середину M стороны BC параллелограмма ABCD, площадь которого равна 1, и вершину A проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке O рис. Найти площадь четырехугольника OMCD. Решение. Площадь четырехугольника OMCD будем искать как разность площадей треугольников BCD и BOM. Площадь треугольника BCD равна половине площади параллелограмма ABCD и равна Найдем площадь треугольника BOM. В прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом при вершине B вписан прямоугольный треугольник MNC так, что угол MNC прямой, точка N лежит на AC, а точка M на стороне AB рис. В каком отношении точка N должна делить гипотенузу AC, чтобы площадь треугольника MNC составляла от площади треугольника ABC Решение. Можно считать, что AB 1. Обозначим AM x, 0 lt x lt 1, тогда BM 1 x,Имеем Ответ Задача 6. В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, а диагональ DB перпендикулярна боковой стороне AB. Продолжения боковых сторон AB и DC пересекаются в точке K, образуя треугольник AKD с углом 4. Площадь трапеции ABCD равна S. Найти площадь треугольника AKD. Решение. Согласно теореме 5, треугольник BKC подобен треугольнику AKD с коэффициентом подобия Следовательно, площади этих треугольников относятся как 1 2, а это значит, что площадь трапеции ABCD равна площади треугольника BKC. Поэтому площадь треугольника AKD равна 2. S. Ответ 2. S. Задача 7. В треугольнике ABC на стороне AB взята точка K так, что AK KB 1 2, а на стороне BC взята точка L так, что CL LB 2 1. Пусть Q  точка пересечения прямых AL и CK рис. Найти площадь треугольника ABC, зная, что площадь треугольника BQC равна 1. Решение. Пусть AK x, BL y. Тогда KB 2x,LC 2y, значит, AB 3x и BC 3y. Применим к треугольнику ABL и секущей KQ теорему Менелая Далее применим к треугольникам ABC и QBC лемму о площадях, получим Ответ Задача 8. Из точки M, которая расположена внутри остроугольного треугольника ABC, опущены перпендикуляры на стороны рис. Длины сторон и опущенных на них перпендикуляров соответственно равны a и k, b и m, c и n. Вычислить отношение площади треугольника ABC к площади треугольника, вершинами которого служат основания перпендикуляров. Решение. Введем стандартные обозначения, то есть обозначим длины сторон треугольника ABC BC a, CA b, AB c величины углов. Основания перпендикуляров, опущенных из точки M на стороны BC, CA и AB, обозначим соответственно через D, E и F. Тогда, согласно условию задачи, MD k, ME m, MF n. Очевидно, что угол EMF равен. Площадь треугольника DEF равна Площадь треугольника ABC равна Найдем отношение площадей треугольников DEF и ABC Следовательно, Ответ Задача 9. Точки P и Q расположены на стороне BC треугольника ABC так, что BP PQ QC 1 2 3. Точка R делит сторону AC этого треугольника таким образом, что AR RC 1 2 рис. Чему равно отношение площади четырехугольника PQST к площади треугольника ABC, где S и T  точки пересечения прямой BR с прямыми AQ и AP соответственноРешение. Обозначим BP x, AR y тогда PQ 2x, QC 3x, RC 2y. Вычислим, какую часть площадь четырехугольника PQST составляет от площади треугольника APQ, а значит, и от площади треугольника ABC. Для этого нам понадобятся отношения, в которых точки S и T делят прямые AQ и AP соответственно. Применим к треугольнику ACQ и секущей SR теорему Менелая Аналогично, применив теорему Менелая к треугольнику ACP и секущей TR, получим Далее С другой стороны, применив лемму о площадях к треугольникам APQ и ABC, получим, что. Ответ Задача 1. 0. В треугольнике ABC длина высоты BD равна 6, длина медианы CE равна 5, расстояние от точки пересечения BD с CE до стороны AC равно 1 рис. Найти длину стороны AB. Решение. Пусть точка O  точка пересечения прямых BD и CE. Расстояние от точки O до стороны AC равное по условию единице есть длина отрезка OD. Итак, OD 1 и OB 5. Применим к треугольнику ABD и секущей OE теорему Менелая Применив теперь теорему Менелая к треугольнику ACE и секущей OD, получим, чтооткуда OE 2. CO, и с учетом OE CO CE 5получаем, что К прямоугольному треугольнику CDO применим теорему Пифагора Значит, Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник ABD, в нем также воспользуемся теоремой Пифагора Ответ Задача 1.